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随机过程在数据科学和深度学习中有哪些应用?

随机过程是我们日常生活的一部分。随机过程之所以如此特殊,是因为随机过程依赖于模型的初始条件。在上个世纪,许多数学家,如庞加莱,洛伦兹和图灵都被这个话题所吸引。

如今,这种行为被称为确定性混沌,它与真正的随机性有着截然不同的范围界限。

由于爱德华·诺顿·洛伦兹的贡献,混沌系统的研究在1963年取得了突破性进展。当时,洛伦兹正在研究如何改进天气预报。洛伦兹在他的分析中注意到,即使是大气中的微小扰动也能引起气候变化。

一个简单的混沌系统的例子是分形(如图所示)。分形是在不同尺度上不断重复的一种模式。由于分形的缩放方式,分形不同于其他类型的几何图形。

分形是递归驱动系统,能够捕获混沌行为。在现实生活中,分形的例子有:树、河、云、贝壳等。

在艺术领域有很多自相似的图形。毫无疑问, MC. Escher是最著名的艺术家之一,他的作品灵感来自数学。事实上,在他的画中反复出现各种不可能的物体,如彭罗斯三角形和莫比乌斯带。在Smaller and Smaller中,他也反复使用了自相似性(图1)。除了蜥蜴的外环,画中的内部图案也是自相似性的。每重复一次,它就包含一个有一半尺度的复制图案。

在确定性过程中,如果我们知道一系列事件的初始条件(起始点),我们就可以预测该序列的下一步。相反,在随机过程中,如果我们知道初始条件,我们不能完全确定接下来的步骤是什么。这是因为这个过程可能会以许多不同的方式演化。

在确定性过程中,所有后续步骤的概率都为1。另一方面,随机性随机过程的情况则不然。

任何完全随机的东西对我们都没有任何用处,除非我们能识别出其中的模式。在随机过程中,每个单独的事件都是随机的,尽管可以识别出连接这些事件的隐藏模式。这样,我们的随机过程就被揭开了神秘的面纱,我们就能够对未来的事件做出准确的预测。

例如,抛一枚均匀硬币是一个随机过程,但由于大数定律,我们知道,如果进行大量的试验,我们将得到大约相同数量的正面和反面。

“随着样本规模的增大,样本的均值将更接近总体的均值或期望值。因此,当样本容量趋于无穷时,样本均值收敛于总体均值。重要的一点是样本中的观测必须是相互独立的。”

泊松过程用于对一系列离散事件建模,在这些事件中,我们知道不同事件发生的平均时间,但我们不知道这些事件确切在何时发生。

让我们以停电为例。电力供应商可能会宣传平均每10个月就会断电一次,但我们不能准确地说出下一次断电的时间。例如,如果发生了严重问题,可能会连续停电2-3天(如,让公司需要对电源供应做一些调整),以便在接下来的两天继续使用。

因此,对于这种类型的随机过程,我们可以相当确定事件之间的平均时间,但它们是在随机的间隔时间内发生的。

由泊松过程,我们可以得到一个泊松分布,它可以用来推导出不同事件发生之间的等待时间的概率,或者一个时间段内可能发生事件的数量。

泊松分布可以使用下面的公式来建模(图2),其中k表示一个时期内可能发生的事件的预期数量。

随机漫步是可以在随机方向上移动的任意离散步的序列(长度总是相同,图3)。随机漫步可以发生在任何维度空间中(如:1D,2D,nD)。

现在我将用一维空间(数轴)向您介绍随机漫步,这里解释的这些概念也适用于更高维度。

我们假设我们在一个公园里,我们看到一只狗在寻找食物。它目前在数轴上的位置为0,它向左或向右移动找到食物的概率相等(图4)。

现在,如果我们想知道在N步之后狗的位置是多少,我们可以再次利用大数定律。利用这个定律,我们会发现当N趋于无穷时,我们的狗可能会回到它的起点。无论如何,此时这种情况并没有多大用处。

因此,我们可以尝试使用均方根(RMS)作为距离度量(首先对所有值求平方,然后计算它们的平均值,最后对结果求平方根)。这样,所有的负数都变成正数,平均值不再等于零。

在这个例子中,使用RMS我们会发现,如果我们的狗走了100步,它平均会从原点移动10步(√100=10)。

如前面所述,随机漫步用于描述离散时间过程。相反,布朗运动可以用来描述连续时间的随机漫步。

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